はじめに

こちらは日曜数学 Advent Calendar 2017 - Adventar18日目の記事です。昨日はキグロさんのみらいけん数学デーまとめ:呟きの補集合 - ブロマガでした。

Riemann zetaの類似としてSelbergにより定義されたSelberg zetaがあります。

$\displaystyle Z_\Gamma(s) = \prod_{\gamma \in C_p}\prod_{m=0}^\infty(1-\exp(-l(\gamma)(s+m))$

ここで Γ は SL(2,R) の離散部分群で、C_p はΓの共役類の代表元で他の元のベキにならないもの全体とします。また l(γ) は上半平面の双曲計量を用いて定義される距離 d(γz, z) の上半平面の点 z に関する最小値です。

このSelberg zetaと先日ご紹介したSelberg trace formula 1 - pi

$\displaystyle \sum_i h(\rho_i) = \frac{{\rm vol}(\Gamma\backslash H)}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty h(\rho){\rm tanh}(\pi\rho)\rho d\rho + \sum_{\gamma\in C_p}\sum_{n=1}^\infty \frac{l(\gamma)g(nl(\gamma))}{2{\rm sinh}(nl(\gamma)/2)}$

との関係を簡単にですが書いてみようと思います。記号等の説明も含めて、上記記事を先にお読みいただけると幸いです。

本題

この二つの式で直接結びつくのは、trace formula右辺の $\displaystyle \frac{l(\gamma)g(nl(\gamma))}{2{\rm sinh}(nl(\gamma)/2)}$ の部分と、zetaの各因子のlog微分

$\displaystyle \frac{d}{ds}(\log(1-\exp(-l(\gamma)(s+m))))=-l(\gamma)(1-\exp(-l(\gamma)(s+m)))^{-1}$

です。

trace formulaの右辺第二項を計算します。 sinh(x)^-1 = 2/(exp(x)-exp(-x)) = 2exp(-x)(1-exp(-2x))^-1 をexpの級数に展開します。すると、

$\displaystyle \frac{l(\gamma)g(nl(\gamma))}{2{\rm sinh}(nl(\gamma)/2)}=l(\gamma)g(nl(\gamma))\exp(-nl(\gamma)/2)\sum^\infty_{m=0}\exp(-mnl(\gamma))$

となります。g が h のFourier変換であることを使うと、上の式は

$\displaystyle \int^\infty_{-\infty} \frac{l(\gamma)}{2{\rm sinh}(nl(\gamma)/2)} \exp(i\rho nl(\gamma))h(\rho)d\rho =\frac{l(\gamma)}{\pi}\int^\infty_{-\infty}\exp(-nl(\gamma)/2)\sum^\infty_{m=0}\exp(-mnl(\gamma))\exp(i\rho nl(\gamma))h(\rho)d\rho$

となります。さらに右辺の被積分関数をexp(-nl(γ)(1/2 + m + iρ)と整理しnについての和を取ることで、この被積分関数は(1-exp(-l(γ)(1/2 + m + iρ)))^-1となります。

つまりまとめると

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{l(\gamma)g(nl(\gamma))}{2{\rm sinh}(nl(\gamma)/2)} = \frac{l(\gamma)}{\pi}\int_{-\infty}^\infty\sum_{m=0}^\infty (1-\exp(-l(\gamma)(\frac{1}{2}+m+i\rho)))^{-1}h(\rho)d\rho$

となります。h(ρ') = 1/(ρ² - ρ'^2) とし s = 1/2 + iρ' とすることで、zetaのlog微分の各項が出てきます。

この h(ρ') = 1/(ρ² - ρ'^2) を用いて ρ = √(λ- 1/4) としたとき、Selberg trace formulaの左辺 Σ_ih(ρ_i) は次のようにLaplacianのtraceと見なせます。

Laplacian Δ は L²(Γ\H) 上の線形作用素ですが、これを行列と思うことにして (Δ - λ) の逆行列を考えます。固有値が λ_i なので対角化されていると思うと 1/(λ - λ_i)を対角成分にもつ行列がこの逆行列です。これのTraceを計算してみると、Σ_i (λ - λ_i)^{-1} になります。

このようにしてSelberg zetaの性質をSelberg trace formulaを用いて調べることができます。

実際には上の形の h はSelberg trace formulaを使うための条件を満たさないので、それを回避するための議論が必要になります。