pi

円周率

Selberg trace formula 2

はじめに

こちらは日曜数学 Advent Calendar 2017 - Adventar18日目の記事です。昨日はキグロさんのみらいけん数学デーまとめ:呟きの補集合 - ブロマガでした。

Riemann zetaの類似としてSelbergにより定義されたSelberg zetaがあります。

 \displaystyle
Z_\Gamma(s) = \prod_{\gamma \in C_p}\prod_{m=0}^\infty(1-\exp(-l(\gamma)(s+m))

ここで Γ は SL(2,R) の離散部分群で、Cp はΓの共役類の代表元で他の元のベキにならないもの全体とします。 また l(γ) は上半平面の双曲計量を用いて定義される距離 d(γz, z) の上半平面の点 z に関する最小値です。

このSelberg zetaと先日ご紹介したSelberg trace formula 1 - pi

 \displaystyle
\sum_i h(\rho_i) = \frac{{\rm vol}(\Gamma\backslash H)}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty h(\rho){\rm tanh}(\pi\rho)\rho d\rho +  \sum_{\gamma\in C_p}\sum_{n=1}^\infty \frac{l(\gamma)g(nl(\gamma))}{2{\rm sinh}(nl(\gamma)/2)}

との関係を簡単にですが書いてみようと思います。記号等の説明も含めて、上記記事を先にお読みいただけると幸いです。

本題

この二つの式で直接結びつくのは、trace formula右辺の  \displaystyle
\frac{l(\gamma)g(nl(\gamma))}{2{\rm sinh}(nl(\gamma)/2)}
の部分と、zetaの各因子のlog微分

 \displaystyle
\frac{d}{ds}(\log(1-\exp(-l(\gamma)(s+m))))=-l(\gamma)(1-\exp(-l(\gamma)(s+m)))^{-1}

です。

trace formulaの右辺第二項を計算します。 sinh(x)-1 = 2/(exp(x)-exp(-x)) = 2exp(-x)(1-exp(-2x))-1 をexpの級数に展開します。 すると、

 \displaystyle
\frac{l(\gamma)g(nl(\gamma))}{2{\rm sinh}(nl(\gamma)/2)}=l(\gamma)g(nl(\gamma))\exp(-nl(\gamma)/2)\sum^\infty_{m=0}\exp(-mnl(\gamma))

となります。g が h のFourier変換であることを使うと、上の式は

 \displaystyle
\int^\infty_{-\infty} \frac{l(\gamma)}{2{\rm sinh}(nl(\gamma)/2)} \exp(i\rho nl(\gamma))h(\rho)d\rho =\frac{l(\gamma)}{\pi}\int^\infty_{-\infty}\exp(-nl(\gamma)/2)\sum^\infty_{m=0}\exp(-mnl(\gamma))\exp(i\rho nl(\gamma))h(\rho)d\rho

となります。 さらに右辺の被積分関数をexp(-nl(γ)(1/2 + m + iρ)と整理しnについての和を取ることで、 この被積分関数は(1-exp(-l(γ)(1/2 + m + iρ)))-1となります。

つまりまとめると

 \displaystyle
\sum_{n=1}^\infty\frac{l(\gamma)g(nl(\gamma))}{2{\rm sinh}(nl(\gamma)/2)} = \frac{l(\gamma)}{\pi}\int_{-\infty}^\infty\sum_{m=0}^\infty (1-\exp(-l(\gamma)(\frac{1}{2}+m+i\rho)))^{-1}h(\rho)d\rho

となります。h(ρ') = 1/(ρ2 - ρ'^2) とし s = 1/2 + iρ' とすることで、zetaのlog微分の各項が出てきます。

この h(ρ') = 1/(ρ2 - ρ'^2) を用いて ρ = √(λ- 1/4) としたとき、Selberg trace formulaの左辺 Σih(ρ_i) は次のようにLaplacianのtraceと見なせます。

Laplacian Δ は L2(Γ\H) 上の線形作用素ですが、これを行列と思うことにして (Δ - λ) の逆行列を考えます。固有値が λi なので対角化されていると思うと 1/(λ - λi)を対角成分にもつ行列がこの逆行列です。これのTraceを計算してみると、Σi (λ - λi)^{-1} になります。

このようにしてSelberg zetaの性質をSelberg trace formulaを用いて調べることができます。

実際には上の形の h はSelberg trace formulaを使うための条件を満たさないので、それを回避するための議論が必要になります。

終わりに

上記の議論の詳細も含めて後日加筆修正します。またSL(2,R)の表現との関係についてもこれから書いていきます。

明日はohtoyaさんの「グラフ問題についてなんか書きます」です。お楽しみに。

Selberg trace formula 1

はじめに

こちらは数学カフェ Advent Calendar 2017 - Adventarの15日目の記事です。 

数学カフェで関数解析について勉強したので、以前から気になっていたSelberg trace formulaについて少し書いてみます。また2月には数学カフェで微分幾何の回があるということで、この記事ではそれとの関係も少し書きました。

この記事は以下の文献を参考にしています。

[math/0407288] Selberg's trace formula: an introduction

 

Selberg trace formulaとは

Selberg trace formulaとは、複素上半平面における以下の公式のことです。

Laplacianの固有値に関する無限和 = 測地線の長さに関する無限和

より詳しく状況を見ていきましょう。

双曲計量

複素上半平面 H には通常の平面のものとは違う特別な長さの測り方を定めることができます。これを双曲計量といいます。この双曲計量を用いて直線の一般化である測地線を定義することができます。

上半平面 H には一次分数変換として SL(2,R) の作用が定まりますが、上の双曲計量で測るとこの変換は二点間の距離を変えないものになっています。

これについてはmatsumoringさんの

双曲平面のモデルと初等幾何

や、tsujimotterさんの

「基本領域ゲーム」を作った - tsujimotterのノートブック

が参考になりますので、そちらをごらんください。

右辺

例えばSL(2,Z)のような SL(2,R) の離散部分群 Γ を考えます。Γ の元 γ の長さ l(γ) を上半平面 H の点 z と γz の距離の z をすべて考えた中での最小値として定義できます。

この長さ l(γ) たちをすべての Γ の元について和をとったものが公式の右辺です。  

左辺

上半平面 H 上の関数に対する微分作用素として、上の SL(2,R) の変換と整合的な微分作用素 Laplacian Δ を定めることができ、また上半平面 H 上の測度 dμ も定めることができます。

これを用いて上半平面 H 上の Γ 不変な関数のなす関数空間 L2(Γ\H) を定義し、Laplacian Δ をこの関数空間への線形作用素として定めることができます。

この作用素の固有値について和をとったものが公式の左辺です。  

改めて公式

今回は離散部分群 Γ については以下の条件を仮定します。

  • 上半平面の商 Γ\H がコンパクトであること

上で離散部分群の例として SL(2,Z) を紹介しましたが、残念ながらこれは上の条件を満たしません。Selbergは SL(2,Z) など上の条件を満たさない場合にも公式を証明しましたが、複雑になるので今回の記事では扱いません。

実際の公式では、複素平面上の適切な関数 h ごとに等式が得られます。

改めてtrace formulaの両辺を書いてみましょう。まず上の条件を満たすように SL(2,R) の離散部分群 Γ と複素平面上の関数 h を決め、gを h のFourier変換とします。これに対し、

L^2(Γ\H) のLaplacian Δ の固有値の h に関する無限和 = Γ の元 γ ごとに定まる測地線の長さの g に関する無限和

という形の公式がSelberg trace formulaです。

この記事の残りでは、公式の証明の方針を紹介します。一言で言えば、

Γ\H 上の関数 K(z,w) を定義し、K(z,z) の Γ\H での積分を二通りの方法で計算する

ことで左辺と右辺を記述でき、それらが等しいと証明できます。

証明の方針

ではSelberg trace formulaの証明の方針を説明していきます。

まず H の点 z, w と実数 λ についての関数として、Green関数 G(z,w,λ) を用意します。 これは(z,w)についてはその間の距離 d にしか依存せず、dについての関数と見たときにLegendreの微分方程式の解になるものです。このGreen関数は Δ のレゾルベント (Δ + λ)^{-1} の積分核になります。

これを用いて H 上の二変数関数 k(z,w) を

 \displaystyle
k(z,w) = \frac{1}{\pi i }\int_{-\infty}^\infty G(z,w,\rho)\rho h(\rho) d\rho

により定義し、さらに K(z, w) を

 \displaystyle
K(z,w) = \sum_\gamma k(\gamma z, w)

と定義します。K(z,w) は γ について和をとっているので Γ 不変になり、Γ\H 上の関数を定めます。*1

固有値側

定理の左辺である Δ の固有値の無限和がどのように現れるかを見ていきましょう。

L2(Γ\H)は Δ の固有関数からなる直交基底φ1, φ2, ... を持ちます。

φiの固有値をρiと書くことにしましょう。

  h を用いて定まる L2(Γ\H) 上の作用素 L を

 \displaystyle
Lf(z) = \int_{Γ\backslash H} K(z,w) f(w) d\mu

と定めます。つまり K を積分核とする積分作用素です。ここで K の定義に h を用いているので、L も h に依存しています。

Green関数とLaplacianの関係を考えながら頑張って計算すると、

 \displaystyle
L\phi = h(\rho)\phi

となることが示せます。

このことからK(z,w)をzについて固有関数展開すると、

 \displaystyle
K(z,w) = \sum_i h(\rho_i)\phi_i(z)\bar{\phi_i}(w)

となることが関数解析の一般論からわかります。

この式でw=zとし、Γ\H 上 dμ で積分すると h(ρ_i) の i に関する和が得られます。

つまり

 \displaystyle
\int_{Γ\backslash H} K(z,z) d\mu = \sum_i h(\rho_i)

が成り立ちます。これが固有値側の無限和です。

測地線側

次に跡公式の右辺である測地線に関する無限和を見てみましょう。

K(z, w) = Σγ k(γz, w)の積分をγ=1の部分とそれ以外の部分に分けて計算します。

まずγ=1ではk(z,z)の積分を具体的に計算することで

 \displaystyle
k(z,z) = \frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty h(\rho){\rm tanh}(\pi\rho)\rho d\rho

となります。

次にγが1以外のk(γz, w)の積分を計算します。

Γ をその共役類に分解し、Cを1以外のΓの共役類の代表元の集合とし、Cpを特に素元、つまり他の元のベキで書けないものたちとすると、

 \displaystyle
\sum_\gamma k(\gamma z, z) = k(z,z) + \sum_{\gamma \in C} \sum_{g \in Z_\gamma\backslash\Gamma}k(g^{-1}\gamma gz, z) = k(z,z) + \sum_{\gamma \in C_p}\sum_{g \in Z_\gamma\backslash\Gamma}\sum_{n>0}k(\gamma^n gz, gz)

となります。ここでZγ={γn}は γ と可換な Γ の元全体、つまり中心化群です。

 \displaystyle
\sum_{g \in Z_\gamma\backslash Γ} \int_{Γ\backslash H} f(gz)d\mu = \int_{Z_\gamma\backslash H} f(z) d\mu
となることを使って、K(z,z) - k(z,z) の積分を計算すると

 \displaystyle
\int_{\Gamma\backslash H}K(z,z) - k(z,z) d\mu = \sum_{\gamma\in C_p}\int_{Z_\gamma\backslash H}\sum_{n=1}^\infty k(\gamma^n z, z)d\mu

となります。

g が h のFourier変換であることを使うと

 \displaystyle
 \int_{Z_\gamma\backslash H} \sum_n k(\gamma^n z,z) - k(z,z) dz = \sum_{n=1}^\infty \frac{l(\gamma)g(nl(\gamma))}{{\rm sinh}(nl(\gamma)/2)}

と計算できるので*2、これを使うと

 \displaystyle
\int_{\Gamma\backslash H}K(z,z) - k(z,z) d\mu = \sum_{\gamma\in C_p}\sum_{n=1}^\infty \frac{l(\gamma)g(nl(\gamma))}{2{\rm sinh}(nl(\gamma)/2)}

となります。

まとめ

以上の計算をまとめると、

 \displaystyle
\sum_i h(\rho_i) = \frac{{\rm vol}(\Gamma\backslash H)}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty h(\rho){\rm tanh}(\pi\rho)\rho d\rho +  \sum_{\gamma\in C_p}\sum_{n=1}^\infty \frac{l(\gamma)g(nl(\gamma))}{2{\rm sinh}(nl(\gamma)/2)}

これが今回の設定でのSelberg trace formulaの証明の方針です。

今回はΓ\Hがコンパクトな場合のみ扱いましたが、上で述べたように Γ=SL(2,Z) などはその条件を満たしません。 Selbergはそのようなケースでもtrace formulaを証明しており、保型形式等の研究に多くの応用があります。

いずれそれらについても書きます。

*1:Poisson和公式の証明で f(x+n) の n についての和を取るのと同じ

*2:このあたりの積分の計算で双曲線関数が出てくるのは双曲計量を用いているからなのですが、そのあたりの事情についてもいずれ書きます。

有限群のFourier変換とGauss和

この記事は

日曜数学 Advent Calendar 2017 - Adventar

12日目の記事です。

 

昨日はパヤシさんによる「芸術/自然と数学」

payashi.hatenadiary.jp

でした。自然現象や芸術作品の対称性の中に群が現れることが見れてとても楽しい記事でした。

昨日の記事でもわかるように、群はそれ自体だけでなく、どのように図形を変換するか、あるいはその変換で何が変わらないかを調べることが大きな問題となります。

今日の記事も、群とその作用の様子、つまり双対性を利用することで、整数のある種の性質が理解できるというおはなしです。

 

先日とある事情*1によりGauss周期について調べているとき、

三重積 (@triprod1829) | Twitter

さんからGauss和とGauss周期はFourier変換になっているらしいと教えてもらいました。

(Gauss和やGauss周期についてはクロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ(その1) - tsujimotterのノートブックをご覧いただくと雰囲気がわかると思います。この記事自体を読むのには特に必要ありません。)

 

それについてgoogleで検索したところ、"The Fourier Transform and Equations over Finite Abelian Groups"というタイトルのlecture note

http://people.cs.uchicago.edu/~laci/reu02/fourier.pdf

を見つけたので、その内容を簡単にご紹介しようと思います。

 

上の文献では方程式のmod pでの解の個数をFourier変換を用いて調べていて、例えば次のような事実を証明できます。

方程式 x^k + y^k = z^k mod pを考える。

p > k^4+3であれば、上の方程式はx, y, zが全てpの倍数でないような解を必ず持つ。

 

k=1の場合、問題の式は単なる1次方程式 x + y = z mod pです。

- p=2とすると、整数を2で割ったあまりは0または1ですが、この定理ではpの倍数でない解を探しているので、解の候補としては1のみです。x=y=1とするとx+y=2ですがp=2で割ったあまりは0なのでz=0となってしまい、条件にあいません。つまりp=2の場合は条件を満たす解はありません。

- p=3とすると、3で割ったあまりは0, 1, 2の3通りで解の候補としては1または2です。この場合にはx=y=1とするとx+y=2でz=2とすればこれが解になります。つまりp=3の場合には条件を満たす解があります。

- p=5とすると、5で割ったあまりは0, 1, 2, 3, 4の5通りで、解の候補としては1から4です。上と同じようにx=y=1, z=2とすればこれが解です。つまりp=5の場合には条件を満たす解があります。

p=7以上でも同様に解を持つことがわかり、k=1であればp>2で上の方程式は必ず解を持つことがわかります。

 

次にk=2の場合ですが、方程式としてはx^2 + y^2 = z^2 mod pを考えます。

- p=2とすると、x=y=1とするとz=0となってしまい、これは条件を満たしません。

- p=3とすると、解の候補は1, 2のどちらかです。これらの2乗を計算すると、1^2=1であり2^2=4ですがp=3で割ったあまりは4=1なのでいずれの場合にもx^2=1となってしまいます。つまりx^2, y^2, z^2の候補は1のみで、条件にあう解は存在しません。

- p=5の場合、上と同様に計算するとx^2, y^2, z^2の候補は1と4のみです。したがってこれも条件を満たす解が存在しないことがわかります。

- p=7の場合、x^2たちの候補は1, 4, 2の3種類です。この場合にはx=y=1, z=3とすればx^2 + y^2 = 2, z^2 = 3^2 = 9 = 2 mod 7となり、これが解であることがわかります。

- p=11の場合、x^2たちの候補は1, 4, 9, 5, 3の5種類です。この場合はx=2, y=4, z=3とすれば2^2+4^2=20=9 mod 11, 3^2=9ということでこれが解になります。

実はこの場合にもこれ以上のpで必ず解を持つことが簡単に証明できます。

 

k=3の場合、方程式としてはx^3 + y^3 = z^3 mod pを考えることになります。

- p=2ではこれまでと同様に解がありません。

- p=3では1^3=1, 2^3=8=2mod3なので、x=y=1, z=2が解です。

- p=5では1^3=1, 2^3=3, 3^3=2, 4^3=4 mod 5なので、x=y=1, z=3が解です。

- p=7ではx^3=1または6になります。したがってこの場合には解がありません。

- p=11ではx=1, y=2, z=4とするとx^3 + y^3 = 9, z^3 = 64 = 9 mod 11なのでこれが解です。

- p=13ではx^3=1, 8, 12, 5のいずれかで、この場合には解がありません。

この先コンピュータに計算させるとp=47までは解があることがわかりました。

 

k=4の場合もコンピュータに計算させると50以下の素数ではp=2,3,5,13,17,41以外では解があります。またk=5では50以下の素数ではp=2,11,41以外では解があるようです。

 

コードは特に何も考えてないループと、numpyを使って少し早くしてみたものです。

gist11cae6e6ba81db7b5d04b937febca4d2

 

上のコードでp<500の範囲を調べると、k=5ではp=71,101では解がない、k=6ではp=157, 257では解がないなどがわかります。

 

このように、kが大きくなると解が存在するか判別することが難しくなりますが、上の定理はどんなkであってもp>k^4+3であれば必ず解を持つということを主張しています。

 

さて、ここからは証明の方針をご紹介します。より詳しく知りたい方は、上記文献をお読みいただくか、こちらのpdf

math_pdf/gaussfourier.pdf at master · unaoya/math_pdf · GitHub

をごらんください。

 

より一般的な設定として、Z mod pの方程式 x + y + z = 0 とZ mod pの部分集合A, B, Cに対し、x, y, zがそれぞれA, B, Cの元であるような解の個数を調べます。

A, B, Cの全ての元を考えると x + y + z の値はZ mod pのp通りになるので、x + y + z = 0となるのは平均的にはA, B, Cの元の個数の積をpで割ったものになると期待できます。

この平均値と実際の解の個数の誤差を評価します。

解の個数は0に台を持つδ関数の値 δ(x+y+z) の総和として計算でき、δ関数のFourier係数が全て1であることからGの各指標χによる値 χ(x+y+z) を合計すればわかります。

自明指標の寄与が上の平均値であり、非自明指標の寄与が誤差項であることがわかり、これをA, B, Cの特性関数のFourier係数で評価することができます。

 

次にC = {z^k | z \in Z mod p}の場合を考えると、Cの特性関数のFourier係数はGauss和を用いて記述できます。Gauss和の大きさを計算することで具体的に誤差項の評価をすることができます。

 

以上のことを用いて、誤差項の上限が平均値より小さい条件を求めることができ、その条件を満たせば元の方程式が解を持つことがわかります。

 

mod pで方程式の解の個数を数えるという問題は、素朴でありながら数学の奥深さを垣間見せてくれる、非常に面白い問題です。

またコンピュータを使って色々実験することができるというのも、今を生きる我々ならではの数学の楽しみ方ですね。

このあたりの話については

数学とコンピュータ Advent Calendar 2017 - Qiita

でも書かせていただく予定ですので、よろしければそちらもご覧ください。

 

明日の日曜数学Advent Calendarはasangi_a4acさんの「中和滴定について書きます」です。お楽しみに。

*1:参考画像

f:id:unaoya:20171212005326p:plain